MATEMÁTICA - Aritmética: Sesión 2 Lunes 12 de abril

Tema 2: 

LAS PROPORCIONES 2

RESOLVIENDO ACTIVIDADES EN EL CUADERNO 

Antes de iniciar tienes que recordar las explicaciones hecha en clase, si no recuerdas presta mucha atención al siguiente video.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA Y CONTINUA , MEDIA , TERCERA Y CUARTA DIFERENCIAL 

Ahora si estas listo para resolver los siguientes ejercicios

1. Hallar la media diferencial de 40 y 28. Presta atención al siguiente video

Sea:

   a - b = b – c

Recuerda que en una progresión aritmética puede haber una media diferencial en donde los medio son iguales. Recuerda la propiedad para resolver, si te aprendes la propiedad podrás resolverlo de varias formas:

a)    Método aplicando  a + c = 2b   

=> 40 + 28 = 2b,  

            68 = 2b

         68/2 = b

             34 = b

Comprobemos

=> 40 - m = m – 28 

     40 - 34 = 34 - 28

               6 = 6

      No olvides lo explicado en la clase anterior que existen dos tipos de proporciones, si ya dominas las proporciones aritmeticas ahora debes emplear las proporciones geométricas. Presta mucha atención.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA Y CONTINUA , MEDIA , TERCERA Y CUARTA PROPORCIONAL

2. Calcular la media proporcional entre 45 y 5. Presta atención al siguiente video

2.    Calcular la media proporcional entre 45 y 5.

Sea:

a = b

b    c

   Por propiedad:

                 a x c = b² o b=√axc (Media Prop.)

Primea forma

45 x 5 = b²

225 = b²

        √225 = b

    15 = b

Segunda forma

b = √a x c

b = √45 x 5

b = √255

b = 15 

Comprobemos

 45  =  15      Multiplicamos en aspa
 15        5

225 = 225

3.  Hallar la cuarta diferencial entre 32; 18 y 50.

Si te piden diferencial no olvides que es una Proporción aritmética
a - b = c - d (y al ser cuarto se refiere al cuarto termino)

Resolvemos:

=> 32 - 18 = 50 - X 

             14 = 50 - X
               X = 50 - 14 
               X = 36
Comprobemos

=> 32 - 18 = 50 - 36
             14 = 14 

4.  ¿Cuánto vale la tercera diferencial entre 30 y 24?

Apliquemos a - b = b – c    No olvides que tanto la media diferencial y la
                                       tercera diferencial son proporciones continuas

Resolvemos:                                  

   => 30 - 24 = 24 - X
                 6 = 24 - X
                 X = 24 - 6
                 X = 14
La tercera diferencial es 14

Comprobemos

=> 30 - 24 = 24 - 14
             10 = 10 

             
5. ¿Cuánto vale la cuarta proporcional entre 24; 12 y 18? Tenemos.
La cuarta proporcional es hallar uno de los 4 terminos de la proporcion
24   =   18 
12         X
Resolvemos:  
24X = 18 x 12
24X = 216
X = 216/24
X = 9
La cuarta proporcional es 9

Comprobemos
24   =   18    Multiplicamos en aspa
12         9

216 = 216

6.  ¿Cuánto vale la tercera proporcional entre 32 y 16?

Encontramos la tercera proporcional multiplicando los extremos:

32    =     16         

16            X

Hallamos de proporcionalidad 

32X = 16x16

32X = 256

    X = 256 / 32

    X = 8

Comprobemos
32   =   16    Multiplicamos en aspa
16         8

256 = 256

7. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 4096. Hallar la media proporcional 
Aquí en cambio es proporción geométrica , la cual  al ser continua se plantea así 

  a = b
  b    c

Aparte dice que todo multiplicado es 4096 osea

                                     a . c . b² = 4096 

Resolvamos:
Primer paso multiplicamos en aspa:   ac = b²
Segundo paso rempalzamos:          ab²c = 4096
                                                    acb² = 4096 

                                                    b²b² = 4096
                                                    b⁴= 4096
Tercer paso, sacas raiz cuarta
                                                    x= ∜4096         
                                                    x= 8

8.  La suma de los cuatro términos de una proporción aritmética continua es 240. Hallar la media diferencial.
Al decir que es continua significa que la proporción aritmética se plantea como:
a - x = x - b la cual puede ser convertida a la siguiente valor a+b=2x  
Aparte dice que los 4 términos sumados dan 240 , osea 
                       a + 2x + b = 240 
De aquí despejas (a+b)
                       (a+b) = 240 - 2x 
Esto lo remplazas en la 1era ecuación .
                       2x = 240 -2x
                 2x + 2x = 240
                         4x = 240
                           x = 240 / 4
                           x = 60 

Te desafio a resolver la nueve tu solo 
9.  Si "x" es la media proporcional de 24 y 6 y "n" es la cuarta proporcional de 8, "x" y 18, hallar "x + n"

10. En una proporción geométrica, la suma de los extremos es 52 y la diferencia de los mismos es 28. Hallar el producto de los términos medios.

*a+c=52

*a-c=28

Sol.

Sumando los dos primeros *

a+c=52

a-c= 28

2a=80

  a=40

  c= 12

Entonces el producto de los términos medios.

40 = x

x = 12

x.x = 40 x 12

 x²= 480

Después de haber desarollado las actividades en el cuderno, desarrolla los siguientes ejercios y envialos al siguiente correo cebasanmarcelo@hotmail.com, esta tarea es para el lunes 20 de abril.

1.   Hallar la media diferencial de:

     I.  40 y 32

     II. 28 y 52

2.  Determinar la media proporcional entre:

     I.  16 y 4

     II. 72 y 200

3.  Hallar la cuarta diferencial entre:

     I.  23; 18 y 12

     II. 45; 37 y 54

4.  Hallar la tercera diferencial entre:

     I.  42 y 30

     II. 39 y 26

5.  Calcular la cuarta proporcional entre:

     I.  16; 28 y 20

     II. 14; 42 y 36

6.  Calcular la tercera proporcional entre:

     I.  18 y 24

     II. 32 y 40

7.  En una proporción aritmética continua, la media diferencial es igual a 16 y la razón aritmética de los extremos es 8. Hallar el producto de los extremos.

     a)  120              b)  180              c)  240

     d)  280              e)  360

8.  La suma de la media diferencial de 28 y 12 con la cuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a:

     a)  18                b)  20                c)  24

     d)  26               e)  30

9.  En una proporción geométrica, la suma de los términos medios es 16 y la razón aritmética de los mismos es 4. Hallar el producto de los extremos.

     a)  60               b)  64                c)  18

     d)  20               e)  24

10. Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; y “n” es la cuarta proporcional de 8; “m” y 12, hallar “m + n”.

      a)  12                b)  15                c)  18

     d)  20               e)  24

Actividad para la casa

11.  La suma de los cuadrados de los términos de una proporción geométrica continua es 400. Hallar el mayor término, si los extremos se diferencian en 12.

     a)  2                 b)  16                c)  8

     d)  10                e)  12

12. El producto de tres números es 5 832. Si el primero es al segundo como el segundo es al tercero, hallar el segundo número.

     a)  15                b)  18                c)  21

     d)  24               e)  27

13. Si las razones aritméticas de los términos de la primera y la segunda razón de una proporción geométrica son 8 y 32 respectivamente, hallar en qué relación estarían la suma y diferencia de los consecuentes de dicha proporción.

     a)  5/3              b) 7/5                    c) 9/7    

     d)  11/9             e)  13/11

14. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en relación de 4 a 9, siendo su suma 39. Hallar la media proporcional.

     a)  12                b)  15                c)  18

     d)  24               e)  27

15. En una proporción aritmética continua, la suma de los cuatro términos es 36 y el producto de los extremos es 32. Calcular la razón aritmética, sabiendo que es positiva.

     a)  5                 b)  6                 c)  7

     d)  8                 e)  9

16. El producto de los extremos de una proporción geométrica es 84. Sabiendo que la diferencia de los medios es 8, calcular la suma de los mismos.

     a)  8                 b)  12                c)  16

     d)  20               e)  24

17. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1 296 y la suma de los cuadrados de los extremos es 97. Calcular uno de los extremos.

     a)  9                 b)  16                c)  25

     d)  36               e)  49

PRIMERA CLASE